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Une dérivation solide du système des points vortex
Sep 19, 2019

Le système des points vortex est un sujet classique de la mécanique des fluides qui remonte à Helmholtz, Kirchhoff, Poincaré et Kelvin. C’est un système d’équations différentielles ordinaires du premier ordre qui modélisent la dynamique d’un nombre fini de tourbillons ponctuels dans un plan. Les inconnues du système sont les positions de ces tourbillons qui évoluent au cours du temps du fait d’interactions inversement proportionnelles à leurs distances mutuelles. En revanche la force de chaque tourbillon est constante ; il n’y a -dans ce modèle-ni dissipation ni amortissement. Ce système est habituellement vu comme la limite du système d’équations aux dérivées partielles d’Euler, qui régit l’évolution en temps et en espace de la vitesse d'un fluide parfait (c’est-à-dire sans dissipation) et incompressible, lorsque le rotationnel de la vitesse devient de plus en plus concentré autour d’un nombre fini de points du plan. Le propos de cet exposé est que ce système peut aussi être obtenu en regardant la limite de la dynamique des centres de disques solides homogènes immergés dans un fluide eulérien lorsque le rayon de chaque disque tend vers 0. La dynamique des centres de ces disques est donnée par un système d’équations différentielles du second ordre: selon le principe de Newton, l'accélération de chaque centre est proportionnelle à la force exercée par la pression du fluide sur le contour du disque. Il s’agit donc d’un problème de perturbation singulière en temps: une équation d’ordre deux qui dégénère à la limite en une équation d’ordre un, mais aussi en espace car les forces de pression se concentrent en des points, avec un couplage subtil dû aux interactions à distance entre disques via le fluide. Dans cette dérivation la force de chaque tourbillon limite provient d’une quantité identifiée par Kelvin: la circulation de la vitesse du fluide autour du disque. Ce résultat est le fruit d’une collaboration avec Olivier Glass, de l’Université Paris-Dauphine. A vrai dire il est un peu plus général et permet de traiter une grande variété de solides immergés, en particulier des solides avec une forme arbitraire et éventuellement une masse toujours positive à la limite, ainsi que des situations où le rotationnel de la vitesse fluide a une partie diffuse bornée.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

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