Conférence - Rencontres doctorales Lebesgue 2016

Titres et exposés

Parrains

David Chataur (LAMFA, Amiens) - Dualité de Poincaré pour les espaces singuliers

Pour une variété fermée, les nombres de Betti également distants des extrêmes sont égaux”, c’est ainsi qu’Henri Poincaré énonce son théorème de dualité dans l’article “Analysis situs” (1895). Ce résultat montre une propriété topologique remarquable de symétrie interne vérifiée pour des objets géométriques sans singularité. Cette symétrie est à l’origine de la signature qui est “l’invariant” central dans les problèmes de classifications en topologie géométrique. Or, il apparait que la signature peut se définir pour des objets singuliers comme les variétés algébriques complexes. On peut se demander s’il est possible de rétablir une forme de dualité de Poincaré pour des espaces singuliers. C’est ce qu’ont accompli Mark Goresky et Robert McPherson en introduisant en 1980 l’homologie d’intersection. Cette nouvelle homologie a fourni de nouveaux invariants pour l’étude topologique des singularités. Dans cet exposé on se propose de donner une présentation des enjeux et des concepts qui ont conduit à cette généralisation de la dualité de Poincaré.

Camille Coron (LMO, Orsay) - Un modèle stochastique de spéciation par sélection sexuelle

Je présenterai un travail réalisé en collaboration avec Manon Costa (Université de Toulouse), Hélène Leman (Université de Guanajuato, Mexique) et Charline Smadi (IRSTEA). Dans ce travail nous considérons une population d'individus caractérisés par leur génotype à un locus bi-allélique haploïde et par leur position sur un espace constitué de deux dèmes. La population est modélisée par un processus de naissance et mort logistique à quatre types. Les individus se reproduisent de façon Mendélienne en choisissant référentiellement un partenaire de même génotype, et migrent à un taux qui dépend de la proportion d'individus de même génotype dans le même dème. Nous étudions, sous une échelle de grande taille de population, la convergence du système vers un isolement reproducteur des deux dèmes.

Oleg Lisovyi (LMPT, Tours) - Fonctions de Painlevé, blocs conformes et combinatoire

La correspondance de Riemann-Hilbert est une application de l'espace de modules des connexions logarithmiques plates sur les surfaces de Riemann épointées vers l'espace de représentations des groupes fondamentaux correspondants. L'exemple nontrivial le plus élémentaire implique les $SL(2,\mathbb{C})$-connexions sur la sphère de Riemann à 4 trous. La déformation isomonodromique de telles connexions est décrite par l'équation différentielle nonlinéaire de Painlevé VI. La résolution de cette équation est alors équivalente à la construction explicite de l'application inverse de Riemann-Hilbert. Je vais expliquer comment on peut résoudre ce problème avec des outils de la physique théorique, notamment les blocs conformes de l'algèbre de Virasoro et les fonctions de partition de Nekrasov-Okounkov de certaines théories supersymétriques de jauge. Puis, si le temps le permets, je vais esquisser la démonstration des représentations combinatoires obtenues pour les fonctions de Painlevé dans un cadre analytique du problème de Riemann-Hilbert.

Orateurs

Simon Andreys (ICJ, Lyon) - Systèmes markoviens quantiques

Les systèmes markoviens quantiques sont l'analogue en probabilités non commutatives des chaînes de Markov. Ils peuvent par exemple modéliser un système quantique en interaction avec un jet d'atomes ou un laser, et permettent d'étudier notamment les phénomènes de décohérence et de thermalisation. J'expliquerais les notions de base des probabilités non commutatives, puis je présenterais un analogue du théorème de Perron-Frobénius, ainsi qu'un théorème récent de convergence des trajectoires quantiques.

Arnaud Becheler (LMO, Orsay) - Modèle de démogénétique environnementale pour l'étude du processus d'invasion biologique (Vespa velutina)

Les invasions biologiques étant des processus raisonnablement limités dans le temps et l'espace, elles fournissent un cadre propice à l'étude de modèles complexes par simulation numérique. Nous mettons à profit la méthode de Calcul Bayésien Approché (ABC) pour étudier l'invasion du frelon asiatique (Vespa velutina), en estimant les paramètres d'un modèle probabiliste démographique et génétique spatialement explicite. La croissance des populations dans chaque unité paysagère est décrite par une fonction des conditions environnementales locales, tandis que les flux migratoires entre populations sont tirés dans des lois dont les densités sont fonctions de la distance géographique à parcourir. Certains paramètres de ces fonctions sont inconnus et doivent être estimés. Conditionnellement à la démographie, un processus de coalescence permet de simuler l'histoire génétique de l'échantillon. Une fois la simulation achevée, la procédure ABC permet de accepter/rejeter les valeurs de paramètres en fonction de la plausibilité des données génétiques qu'ils permettent de générer.

Rémi Bignalet-Cazalet (IMB, Dijon) - Courbes homaloïdes et courbes libres

Une courbe algébrique X dans l'espace projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{C}) $ est le lieu des zéros d'un polynôme $f$ en trois variables. Si l'on considère les dérivées partielles de $f$, on peut définir une transformation rationnelle dite transformation polaire. La courbe associée est appelée homaloïde si la transformation polaire associée est birationnelle, c'est-à-dire de degré topologique 1. D'autre part, l'idéal jacobien d'une courbe de $\mathbb{P}^2(\mathbb{C}) $ est engendré par les dérivées partielles de $f$. On dit que $X$ est libre si le premier module des syzygies de l'idéal jacobien est libre. Dans cet exposé, après être revenu sur les différentes définitions, je montrerai le lien entre les deux notions et en particulier comment l'étude des singularités des courbes ainsi que leurs mesures par nombre de Tjurina ou nombre de Milnor permet d'établir différentes classifications.

Ariane Carrance (ICJ, Lyon) - Graphes colorés et trisps aléatoires

Les graphes réguliers aux arêtes proprement colorées permettent d'encoder des espaces topologiques linéaires par morceaux, que l'on appelle trisps colorés. Grâce à cet encodage, une distribution de probabilité sur ces graphes induit un trisp aléatoire. De tels espaces aléatoires apparaissent notamment dans une approche à la gravité quantique appelée théorie des champs tensoriels colorés. Après avoir introduit les notions nécessaires, je présenterai deux modèles simples de trisps colorés aléatoires.

Jacques Darné (LPP, Lille) - Autour de la conjecture d'Andreadakis stable

Soit $F_n$ le groupe libre sur $n$ générateurs. Son groupe d'automorpismes Aut$(F_n)$ agit canoniquement sur l'abélianisé $F_n^{ab} = \mathbb Z^n$ ; le noyau de cette action est noté $IA_n$. La structure de $IA_n$ est très mal connue. On en connaît des générateurs explicites, en nombre fini. Pour $n = 2$, on sait qu'il n'est constitué que des automorphismes intérieurs (donc est libre de rang $2$), mais $IA_3$ n'est pas de présentation finie, et on ne sait pas si $IA_n$ est de présentation finie pour $n \geq 4$. La conjecture d'Andreadakis, énoncée dans les années 1960, demande si deux filtrations canoniques sur $IA_n$ coïncident. Après une présentation détaillée des outils de théorie des groupes utilisés, nous évoquerons les récents développements autour de cette conjecture et de sa version stable.

Gautier Dietrich (IMAG, Montpellier) - Invariant de Yamabe en géométrie CR et chirurgie

En géométrie riemannienne, le "problème de Yamabe" est celui de l'existence, sur une variété riemannienne compacte donnée, d'une métrique conforme à la métrique de départ et de courbure scalaire constante. La résolution de ce problème a engendré plusieurs énoncés analogues et a permis d'extraire un invariant différentiel, également dit de Yamabe. Un théorème récent dû à B. Ammann, M. Dahl et E. Humbert décrit le comportement de cet invariant sous chirurgie ; je présenterai dans cet exposé l'avatar en géométrie de Cauchy-Riemann de ce résultat.

Sylvain Douteau (LAMFA, Amiens) - Homologie d'intersection et dualité de Poincaré

La dualité de Poincaré n'est pas vérifiée pour les espaces singuliers. Cependant, l'homologie d'intersection, introduite par Goresky et MacPherson en 1980, permet de rétablir ce résultat de dualité pour une large classe d'objets singuliers : les pseudo-variétés. On se propose de présenter ici, après une définition des pseudo-variétés, une construction de l'homologie d'intersection, puis on essaiera de montrer comment l'homologie d'intersection permet de rétablir naturellement la dualité de Poincaré pour les pseudo-variétés.

Elsa Ghandour (LMBA, Brest) - Construction des solitons de Ricci par déformation biconforme

Dans cet exposé je parlerai des solitons de Ricci qui sont fondamenteaux à la compréhension du flot de Ricci, notamment pour les solutions qui existent pour tout temps futur. L'existence et l'unicité de solitons de Ricci sont des problèmes dont on ne connait pas grandes choses. On aimerait alors savoir si on peut déformer un soliton en un autre soliton. Mon approche est de déformer biconformement une métrique de soliton en une autre métrique de soliton qui ne se déduit pas de la métrique donnée par difféomorphisme et multiple scalaire.

Sylvain Lacroix (ENS Lyon/Hertfordshire University) - Polynômes invariants et opers finis

Les notions de polynômes invariants et d'opérateurs de Casimir jouent un rôle important dans l'étude de la structure des algèbres de Lie semi-simple. Dans cet exposé, nous présenterons les liens entre ces objets et leurs propriétés, notamment les théorèmes de Harish-Chandra et de Chevalley, en les illustrant dans le cas particulier des algèbres de Lie gl_n. Nous introduirons ensuite la notion d'oper fini et montrerons comment elle permet d'étudier par une autre approche les polynômes invariants. Enfin, nous aborderons l'utilité de ces notions en physique (plus précisément en théorie de l'intégrabilité), en tant que version simplifiées de modèles de Gaudin.

Bruno Laurent (IF, Grenoble) - Automorphismes des courbes algébriques

Les variétés homogènes sont des objets dans lesquels « tous les points se ressemblent ». Plus précisément, un point peut être envoyé sur n’importe quel autre par un automorphisme. Une condition nécessaire pour qu’une variété soit homogène est donc qu’elle possède un nombre infini d’automorphismes. Dans cet exposé, on traitera surtout le cas des courbes algébriques. Après avoir rapidement donné une idée de ce qu’est une variété algébrique affine ou projective sur un corps algébriquement clos, on présentera le théorème de trichotomie de Hurwitz « genre 0 - genre 1 - genre au moins 2 » sur la finitude du groupe d’automorphismes des courbes, ainsi que des améliorations récentes de ce résultat.

Zoé Philippe (LMJL, Nantes) - Autour du volume des variétés hyperboliques

Le but de cet exposé est de présenter quelques questions liées au volume des variétés hyperboliques. Les domaines fondamentaux sont des outils particulièrement précieux pour répondre à ces questions (et à bien d'autres). On exposera en particulier une méthode de construction de tels domaines (la méthode de Ford).

Olivier Pierre (LMJL, Nantes) - Solutions analytiques aux équations de la magnétohydrodynamique (MHD)

Dans cet exposé, j'introduirai les équations de la MHD dans le cadre des fluides homogènes, incompressibles et non visqueux. Je parlerai d'une classe de solutions appelées "nappes de tourbillon-courant", qui représentent un phénomène de cisaillement du fluide. On verra ensuite sur un exemple simplifié comment construire des solutions très régulières (dites "analytiques") au système de la MHD incompressible, en appliquant un théorème de Cauchy-Kowalevskaya.

Axel Rogue (IRMAR, Rennes) - Exposant de Lyapunov minimal dans $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$

L'étude de la dynamique des orbites obtenues par itération d'un polynome ou d'une fraction rationnelle $f$ de $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ a été initiée au début du XXème siècle par (entre autres) Julia et Fatou. Le chaos de tels systèmes étant important, il a fallu attendre quelques décénies avant que le point de vue ergodique permette une meilleure compréhension des phénomènes rencontrés. L'idée fondamentale est d'utiliser une mesure invariante pour étudier ce qu'il se produit en moyenne lorsque le cas par cas est trop difficile à appréhender. Cela permet notament de définir les exposants de Lyapunov, qui s'apparentent à des valeurs propres asymptotiques de la suite $D_{x} f^n$. On sait grâce à Briend et Duval que ces exposants de Lyapunov sont minorés par une constante. Une question naturelle est donc: Quels sont les $f$ ayant un exposant minimal ? Le but de cet exposé sera d'expliquer les outils fondamentaux de la théorie ergodique, afin d'aborder cette question en dimension 1 et 2.

Julien Roussillon (LMPT, Tours) - Problème de connexion pour la fonction tau isomonodromique de Painlevé I

Les problèmes de connexion pour les fonctions tau isomonodromiques de Painlevé consistent à relier leur asymptotique le long de différentes directions critiques. Nous expliquerons l'origine des équations de Painlevé, et le phénomène de Stokes lorsque le système linéaire associé présente des singularités irrégulières. Nous verrons ensuite le concept de fonction tau, puis le rôle de la monodromie dans l'analyse de son asymptotique, et les problèmes qui en découlent. Nous nous intéresserons enfin au problème de connexion pour l'équation de Painlevé I.

Annalaura Stingo (LAGA, Paris XIII) - Existence globale de petites solutions pour l'équation de Klein-Gordon cubique unidimensionnelle

L'existence globale de solutions de petite taille pour des équations de Klein-Gordon critiques, en dimension d'espace petite, est connue pour des données initiales à support compact. Nous montrons, à l'aide du calcul pseudo-différentiel et de l'analyse microlocale semi-classique, que ce résultat est vrai aussi pour des données qui ne sont pas à support compact, mais qui décroissent faiblement à l'infini.

Rémi Tesson (I2M, Marseille) - Modélisation mathématique de la migration cellulaire

La migration des cellules est un processus biologique complexe intervenant lors de nombreux phénomènes, que ce soit lors du développement embryonnaire ou dans des pathologies comme le cancer. Je présenterai dans cet exposé un possible modèle EDP permettant de décrire la migration d'une cellule dans son environnement, en me concentrant sur les difficultés mathématiques sous-jacentes. Enfin je parlerai des outils numériques pouvant être utilisés afin de simuler à partir de notre modèle la migration d'une cellule.

Tat-Dat To (IMT, Toulouse) - Le flot de Kähler Ricci et le programme des modèles minimaux

Dans cet exposé, J'introduirai le programme de Song-Tian qui propose que le flot de Kähler Ricci apporterai un programme des modèles minimaux analytiques sur les variétés projectives comme le flot Ricci de Hamilton dans dimension 3. De plus, J'expliquerai ce programme dans le cas de dimension 2.

Victor Vilaça Da Rocha (LMJL, Nantes) - Étude de comportements non linéaires pour un système de Schrödinger cubique couplé

A travers un système de deux équations de Schrödinger cubiques couplées, nous étudierons différents types de comportements non linéaires que l'on peut obtenir dans les EDP non linéaires. Nous verrons comment le choix de l'espace des positions influe sur le type de résultat obtenu, sur la méthode employée, ainsi que sur la manière dont sont atteints ces comportements.

Thomas Wallez (LMJL, Nantes) - Autour de quelques problèmes inverses

Le but de cet exposé est de parler de l'épineux monde des problèmes inverses. Les différentes sources d'inspirations possibles en font un monde riche en questions et varié en techniques. Ici, nous ne ferons que gratter la surface en abordant le problème de la transformée rayon X et les questions liées. Puis si le temps nous le permet, nous parlerons un peu d'un autre problème dit de rigidité spectrale.

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