Programme et résumés, 17-18 novembre 2016

Christophe Bavard (univ. Bordeaux): "Points conjugués et modèles géométriques pour les surfaces lorentziennes"

Les points conjugués jouent un rôle important en géométrie riemannienne et lorentzienne. Pour les variétés riemanniennes, l'absence de points conjugués impose des contraintes assez fortes sur la topologie et parfois même sur sa géométrie. Ainsi, un résultat de Hopf (1948), généralisé par Burago et Ivanov (1994), affirme qu'un tore riemannien sans points conjugués est nécessairement plat. Dans cet exposé, je montrerai l'existence de tores lorentziens sans points conjugués et non plats. J'expliquerai ensuite la construction de modèles géométriques généralisant les modèles classiques de courbure constante. Enfin, je donnerai quelques applications de ces objets : lien avec la question des points conjugués, classification des tores lorentziens munis d'un flot d'isométries. Il s'agit d'un travail conjoint avec Pierre Mounoud.

Elsa Ghandour (LMBA): "Séries formelles pour les fonctions conjuguées en trois dimensions".

Deux fonctions f et g définies sur une variété riemannienne sont dites conjuguées si en chaque point leurs gradients sont orthogonaux et de même longueur ; autrement dit, le couple (f,g) détermine une application semi-conforme. Il est naturel de chercher les conditions sur une fonction f afin qu'elle admette une conjuguée. En 2015, P. Baird et M. G. Eastwood ont montré que dans l'espace euclidien de dimension trois, f admet une conjuguée si et seulement si elle vérifie une inégalité différentielle d'ordre 2 et trois équations différentielle d'ordre 3 ; toutes ces conditions sont invariantes par des transformations conformes et il faut une liste exhaustive d'invariants pour les écrire ; bref, ces équations sont très obscures. Un problème fondamental est le manque d'exemples. Dans cet éxposé, je vais discuter un ansatz qui permet de construire des solutions à partir d'une fonction à deux variables qui vérifie une equation différentielle du premier ordre. On est ramené à la construction des séries formelles qui représentent des solutions. Afin de les trouver, on doit d'abord surmonter les difficultés algébriques.

Daniel Naie (LAREMA): "L'irrégularité des surfaces contenues dans une hypersurface de petit degré de P4".

L’étude des surfaces lisses contenues dans une hypersurface de P4 de petit degré (i.e. < 6) semble offrir des renseignements sur la compréhension des surfaces plongées dans P4. Guidés par ce principe heuristique, nous étudions l’irrégularité de ces surfaces. L'étude est basée sur l'interprétation de l'hypersurface comme l'existence d'une section globale non-nulle du fibré normal tordu de la surface et sur l'utilisation de la suite de Koszul associée à cette section. Il s'agit d'un travail en commun avec Igor Reider.

Emmanuel Opshtein (Univ. Strasbourg): "Beaucoup de rigidité et un peu de flexibilité C0 pour les sous-variétés Lagrangiennes".

La géométrie symplectique est la géométrie associée à une 2-forme fermée non-dégénérée. Il s'agit d'une géométrie flexible localement (l'espace des symétries, même locales, est de dimension infini), qui présente cependant une rigidité topologique remarquable. Cette rigidité implique la possibilité de définir une notion de géométrie symplectique C^0. J'expliquerai comment cette géométrie C^0 (donc par homéomorphisme) agit sur une classe de sous-variétés fondamentales en géométrie symplectique, les sous-variétés lagrangiennes. Dans le premier exposé, j'introduirai la géométrie symplectique, et les résultats de base de la théorie qui mènent aux questions de rigidité/flexibilité C^0. Dans le second exposé, je parlerai plus particulièrement de l'action des homéomorphismes symplectiques sur les Lagrangiennes.

Axel Rogue (IRMAR): "Exposant de Lyapunov minimal dans CP2".

La dynamique des orbites obtenues par itération d'un polynôme ou d'une fraction rationnelle f de P^n(C) a été initiée au début du XXème siècle par (entre autres) Julia et Fatou. Le chaos de tels systèmes étant important, il a fallu attendre quelques décennies avant que le point de vue ergodique, dont l'idée fondamentale est d'utiliser une mesure invariante pour étudier ce qu'il se produit en moyenne, permette une meilleure compréhension des phénomènes rencontrés. Il permet notamment de définir les exposants de Lyapunov, qui s'apparentent à des valeurs propres asymptotiques de la suite D_x f^n. On sait grâce à Briend et Duval que ces exposants de Lyapunov sont minorés par une constante. Une question naturelle est donc: quels sont les f ayant un exposant minimal ? C'est cette question, résolue en dimension 1, mais encore indécise en dimension 2, que je me propose d'aborder.

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Irmar LMJL ENS Rennes LMBA LAREMA

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