Sur quelques travaux de Mirzakhani

Tuesday, October 15, 2019 - 10:00 to 11:00
Elise Goujard
Université de Bordeaux
Sur quelques travaux de Mirzakhani
Abstract: 

En 2014, Maryam Mirzakhani recevait la médaille Fields pour ses "contributions exceptionnelles à la dynamique et à la géométrie des surfaces de Riemann et de leurs espaces de module". Ses travaux ont en particulier construit des ponts entre différents domaines (comme par exemple la géométrie hyperbolique et la physique mathématique, la dynamique des mondes "plats" et hyperboliques, etc). Ils sont et resteront une source d'inspiration pour de nombreuses mathématiciennes et mathématiciens.

Dans cet exposé je présenterai plus en détail deux de ses résultats, qui j'espère permettent d'appréhender l'étendue du spectre de ses travaux. Le premier, issu de sa thèse, décrit le comptage des géodésiques simples sur les surfaces hyperboliques. MIrzakhani a montré en particulier que ce problème est relié au volume de Weil-Petersson de l'espace de modules de surfaces hyperboliques à bord, ce qui lui a permis de donner une preuve alternative de la conjecture de Witten. Le deuxième, un de ses derniers, en collaboration avec Eskin, montre que la dynamique des espaces de modules de surfaces plates a une rigidité similaire à celle des espaces homogènes, qui avait été décrite par Ratner. Parmi les nombreuses applications de ce résultat, je m'intéresserai à celle très concrète du problème d'illumination (suivant Lelièvre-Monteil-Weiss) : dans une salle couverte de miroirs, à partir d'un position donnée, peut-on atteindre n'importe quel point avec un laser, ou restera-t-il toujours des endroits sombres, non illuminés ? Cela dépend bien sûr de la forme de la salle, et le dernier résultat permet de répondre à cette question pour une large classe d’exemples.

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