5 minutes Lebesgue

Roger Lewandowski, Pour une poignée de dollars

Depuis Euler jusqu’à Navier, on s’est attaché à élaborer les équations qui régissent le mouvement des fluides visqueux. Stokes leur donna leur lettres de noblesse : ce sont aujourd’hui les équations de Navier-Stokes. Au début du 20ème siècle, Oseen ouvre la voie en s’attaquant au cas linéarisé, mais c’est Leray en 1934, un jeune mathématicien alors Rennais, qui dans un travail visionnaire décrit en détail la structure du système dans le cas incompressible. Il montre l’existence d’une unique solution régulière, locale en temps. Incapable de montrer que cette solution se prolonge pour tout temps dans le cas général, de dépit, il introduit la notion de solution turbulente, aujourd’hui solution faible, et montre l’existence d’une solution turbulente globale en temps. Mais reste ouvert le problème de savoir si la solution régulière peut développer une singularité en temps fini ou pas, ce qui est étroitement lié à la structure de la solution turbulente. Ce problème, mis à prix 1 million de dollars par la fondation Clay en 1991, est des six problèmes de mathématiques les plus difficiles aujourd’hui non résolus.

IRMAR
28 November 2017
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Mathematical field: 
analysis, daily life of mathematicians
Keywords: 
équations aux dérivées partielles, équations de Navier-Stokes, Clay Institute
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