Programme et résumés, 19-20 janvier 2017

Thierry Barbot (univ. Avignon): "Espaces-temps plats de dimension 2+1 avec singularités: vers une classification (selon L. Brunswic)".

Le but de ces deux exposés est de présenter le travail de thèse (en cours) de Léo Brunswic. Il s'agit de présenter la théorie des espaces-temps plats (c'est-à-dire localement modelés sur l'espace-temps de Minkowski), admettant certains types de lignes singulières - dites particules - qui sont globalement hyperboliques. Pour faire bref, il s'agit des espaces-temps admettant une fonction temps dont les niveaux sont compacts; en d'autres termes, ceux qui sont "spatialement compacts". Le cas sans particule a été élucidé dans un article fondateur de G. Mess au début des années 90; qui a notamment établi que ces espaces-temps, à isométrie près, sont en correspondance biunivoque avec l'espace tangent de l'espace de Teichmüller. Cette théorie sera le contenu du premier exposé. Le second exposé sera consacré au cas avec particules. Ce cas est aussi traité dans des travaux récents, notamment ceux de Bonsante-Seppi, sous des hypothèses assez restrictives. Le travail de Brunswic suit une ligne un peu différente, très géométrique, et basée sur des idées de Gerard 't Hooft, exploitant le principe qu'un tel espace-temps doit contenir des surfaces de type espace particulières: totalement géodésiques par morceaux, et convexes. De telles surfaces sont alors naturellement munies d'une métrique localement euclidienne avec singularités coniques. Un des enjeux de la thèse de L. Brunswic est de montrer que pour toute surface localement euclidienne S avec singularités coniques d'angles $\theta_1$, ... $\theta_n$, et pour tout n-uplet de nombres réels positifs $\alpha_1$, ... , $\alpha_n$ vérifiant $\alpha_i < \theta_i$ pour tout $i$ entre $1$ et $n$, il existe un et un seul espace temps plat GH "radiant" admettant S comme tranche d'espace convexe et polyhèdrale, et où les particules sont de "masse" $\alpha_1$, ... , $\alpha_n$. Une des innovations majeures est d'interpréter le cas où tous les $\alpha_i$ sont nuls: les particules sont alors des "trous blancs BTZ extrêmes", et l'espace de modules des espaces temps associés est alors l'espace de Teichmüller décoré introduit par R. Penner. Il est plaisant que cette théorie met en jeu des mathématiques de collège mettant en jeu les triangles euclidiens et leurs cercles circonscrits... Le résultat final n'est pas obtenu, mais j'étudierai avec détail le cas où S est la sphère avec trois points singuliers, qui est totalement résolu.

Baptiste Chantraine (LMJL): "Obstructions à l'existence d'isotopies legendriennes positives".

Dans cette exposé j'introduirai la notion de sous-variétés legendriennes dans des variétés de contact par des exemples concrets. Ensuite je donnerai des exemples d'isotopies legendriennes positives en illustrant les différences entre celles-ci et les isotopies legendriennes classiques. Dans une seconde partie on verra des obstructions à l'existence de telles isotopies dans certaines variétés de contact et je relierai ceci à la notion d'ordenabilité du groupe de contactomorphismes. Collaboration avec V. Colin et G. Dimitroglou Rizell.

Frank Loray (IRMAR): "Voisinages de courbes dans les surfaces complexes".

Étant donnée une courbe (surface de Riemann) compacte C, on essaye de comprendre quand est-ce que deux plongements C---> S, S' holomorphes dans des surfaces complexes sont localement équivalents, en ce sens que les voisinages sont biholomorphiquement équivalents. Le but de l'exposé est de décrire quelques invariants qui permettent de distinguer des plongements non équivalents.

Delphine Pol (LAREMA): "Symétrie des multi-valuations des courbes".

Le semigroupe d'une courbe plane irréductible, ou plus généralement d'une courbe Gorenstein, présente une propriété de symétrie, qui a été généralisée aux courbes à plusieurs branches par Felix Delgado. L'objectif de cet exposé est de présenter une généralisation de cette symétrie qui relie les multi-valuations d'un idéal à celles de son dual. Je me suis intéressée à cette symétrie dans le but de regarder l'idéal jacobien et son dual, le module des résidus logarithmiques.

Erwan Rousseau (univ. Aix-Marseille): "Conjectures de Lang pour les surfaces de type général".

Nous expliquerons quelques résultats récents sur la géométrie des courbes dans certaines surfaces de type général, inspirés par les conjectures de Lang.

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