Les interactions avec le monde socio-économique et socio-culturel constituent un enjeu fondamental du Centre Henri Lebesgue.

La création de l'Agence Lebesgue de Mathématiques pour l'Innovation en est une incarnation forte. Sa démarche proactive auprès des entreprises dans des domaines comme la cyber-sécurité, l'agronomie, l'automobile, la santé, les sciences des données, l'optique, ou la mer, permet aux entreprises innovantes de nos deux régions d'avoir accès aux compétences mathématiques dont elles ont besoin. Sa démarche permet de valoriser le diplôme de docteur auprès des entreprises. Des actions en collaboration avec les sciences physiques, numériques, biologiques et de la santé permettent l'émergence de nouvelles problématiques de recherches et des croisements d'idées fertiles.

Avec le grand public, la vidéothèque des 5 minutes Lebesgue donne un aperçu à un très large public des facettes diverses du travail des mathématiciennes et mathématiciens. Le Centre Henri Lebesgue contribue à susciter le goût pour les sciences auprès des élèves de collège, de lycée avec une attention particulière pour les filles.