SEME - Semaine d’Etude Mathématiques – Entreprises

Des groupes de 3 à 5 jeunes chercheurs de spécialités différentes seront formés pour travailler sur un des sujets proposés par les entreprises. Ces groupes seront constitués par l'équipe organisatrice pour assurer dans chaque groupe la présence des compétences nécessaires et la diversité des profils. Si plusieurs choix sont possibles, il sera tenu compte des préférences exprimées. Chaque groupe aura à sa disposition un référent universitaire local et les référents de l'entreprise seront joignables.

  • Scalian - Modèle réduit pour les éoliennes

En mécanique des fluides, les simulations sont généralement très coûteuses en temps de calculs par exemple pour calculer l’écoulement autour des pâles d’une éolienne. Piur s’ataquer à des applicatins temps réels il est nécessaire de déduire d’un jeu de données un modèle de dimension réduites qui est une approximation de l’EDP originale dans un cadre d’application spécifique. Au sein du Lab de SCALIAN DS, nous développons des modèles de dimension réduite, dérivés d’un formalisme de mécanique des fluides randomisée. Ce formalisme permet, en particulier, de quantifier et de contrebalancer les erreurs introduites par la réduction de dimension. Des codes Matlab, Python et C++ ont été développés en ce sens. Ces modèles de dimension réduite étant stochastiques, des schémas d’intégration spécifiques doivent être utilisés. 

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  • Ravel Technologies - La cryptographie homomorphe au service du traitement de données sécurisées.

La cryptographie homomorphe permet de chiffrer des données afin de préserver leur confidentialité tout en permettant de faire des calculs sur les données chiffrées, ”en aveugle”, c’est-à-dire sans les déchiffrer. Pour cela, mathématiquement parlant, l’algorithme de chiffrement doit commuter avec des opérations élémentaires, qui sont au minimum l’addition et la multiplication. Un exemple d’application d’un chiffrement homomorphe pour la délégation de calculs pourrait être le cas de figure où un utilisateur souhaiterait faire un calcul, dont il ne connaît pas les modalités ou pour lequel il ne disposerait pas des ressources nécessaires, et aimerait faire appel à un service de cloud computing pour effectuer ses calculs tout en préservant la confidentialité des données. C’est en particulier important dans le domaine médical. 

Parmi tous les algorithmes possibles, ceux qui se sont imposés sur les dix dernières années sont tous basés sur le problème dit Learning With Errors (LWE), pour des raisons de performances et de sécurité. Malheureusement cette technique introduit un bruit dans le message chiffré, qui peut augmenter au cours des calculs homomorphes, jusqu’à rendre incorrect son déchiffrement.

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  • Cenaero / IRT Saint-Exupéry - Caractérisation de problèmes d’optimisation définis par des fonction de type « boites noires »

En aéronautique, l’optimisation de la conception d’un avion fait intervenir plusieurs sous- problèmes de natures différentes : optimisation de l’aérodynamique, optimisation de la structure, etc. (On parle d’optimisation multidisciplinaire.) Il est bien sûr essentiel de choisir pour chaque sous- problème un algorithme d’optimisation performant.

L’optimisation, au sens mathématique, consiste à minimiser (ou maximiser) la valeur d’une fonction objectif tout en respectant des contraintes, également représentées par des fonctions. Pour certains types de fonctions (par exemple convexes, ou même linéaires) on sait associer à un problème des algorithmes efficaces. Cependant les problèmes d’optimisation rencontrés dans l’industrie n’ont pas toujours des propriétés aussi simples à identifier. Ceci est notamment dû au fait que les valeurs des fonctions ne sont pas calculées grâce à des formules analytiques mais plutôt à l’aide de simulations numériques. On parle de fonctions « boîtes noires ». La question du choix de l’algorithme le plus efficace pour résoudre de tels problèmes n’est pas triviale. Pour faciliter ce choix une approche consiste à identifier des propriétés caractéristiques des problèmes.

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Sujet 1: Inversion de matrices de Hadamard complexes pour combiner des faisceaux laser.
La technologie de la Conversion Multi-Plan de la Lumière (MPLC) est une façon de manipuler la lumière qui a été inventée à l’origine pour l’optique quantique multimode et permet par exemple de manipuler des faisceaux laser (procédés d’usinage par laser, communication sur fibre optique et en espace libre). Dans le cadre de la simulation de ces technologies, on s’intéresse à la représentation de faisceaux identiques mais avec des phases différentes, et de les étudier numériquement et théoriquement. Pour manipuler de tels objets, on est naturellement amené à vouloir inverser des matrices de Hadamard complexes c’est-à-dire des matrices unitaires à coefficients de module 1. Or il existe plusieurs classes d’équivalences de ces matrices et il est donc important de trouver pour un nombre de faisceaux N donné quelle est la classe la plus appropriée pour effectuer ces inversions (ou inversions approchées). Plusieurs approches peuvent être envisagées, théoriques et numériques en fonction des cas considérés. Des cas concrets pourront être analysés, avec possibilité de déterminer la meilleure solution possible théoriquement ou numériquement.

 

Sujet 2: Lissage rapide pour des signaux non homogènes
Lorsqu’un signal physique est reçu et utilisé il est la plupart du temps bruité et non lisse. Pour pouvoir le manipuler numériquement, il convient de le régulariser et une façon très classique de procéder et de convoluer par une gaussienne de variance fixée, qui détermine l’échelle à laquelle le signal pourra être considéré comme régulier. Dans beaucoup de situations, les signaux ne sont pas uniformément bruités, et certaines parties présentent des défauts locaux importants, quand le signal global est acceptable. De même les contraintes industrielles peuvent demander de contrôler uniquement localement le lissage dans certaines régions, sans pour autant avoir une signal globalement lisse. Toutes ces applications posent donc la question de faire du lissage non uniforme et on souhaite que l’opération de lissage soit la plus rapide possible. D’un point de vue concret, il s’agit d’imaginer une méthode de régularisation qui prend en compte une certaine métrique non uniforme liée soit aux contraintes industrielles, soit à la régularité initiale du signal. Plusieurs méthodes peuvent être envisagées avec à la clef des techniques de calculs rapides d’intégrales non convolutionnelles. Des tests numériques pourront être effectués dans des cas simples mais pertinents pour les applications industrielles.