Cours doctoraux 2022-23

L’IRMAR et l’UFR de Mathématiques de Rennes 1, avec le soutien du labex CHL et de l’école doctorale Matisse proposent chaque année des cours de mathématiques de niveau doctoral et des cours de spécialisation, validés comme formation de l’école doctorale Matisse.

 

Géométrie et théorie ergodique

Dynamique sur les variétés de caractères

Par Florestan Martin-Baillon - 6 heures cours magistral - du 3/04/23 au 14/04/23 - salles à confirmer

Une variété de caractères est un espace qui paramétrise les déformations d'un groupe dans un autre (typiquement, le groupe fondamentale d'une surface dans un groupe de Lie). Elles sont dans de nombreux cas liées à la notion de structure géométrique sur les variétés (géométrie hyperbolique, géométrie projective, ...), l'exemple emblématique étant l'espace de Teichmüller d'une surface qui peut s'identifier à une composante connexe d'une variété de caractères. Dans le cas du groupe fondamentale d'une surface, les variétés de caractères admettent une action du groupe modulaire de la surface (le groupe des homéomorphismes modulo homotopie). Cette dynamique est très riche et peut être très variée: elle est parfois "chaotique" et parfois "propre", et on s'attend à ce que ces différences nous donne des informations sur la nature des représentations en question. Nous présenterons les définitions des variétés de caractères, des groupes modulaire, les exemples classiques de la théorie, puis nous démontrerons le théorème de Goldman sur l'ergodicité de l'action du groupe modulaire sur la variété de caractères à valeur dans SU(2). Pour cela on utilisera des techniques variées provenant de la topologie des surfaces, de la théorie géométrique des groupes, de la théorie ergodique et de la dynamique hamiltonienne.

  • Mots-clés : variétés de caractères, mapping class group, géométrie hyperbolique
  • Prérequis : bases de topologie des surfaces, bases de systèmes dynamiques

Aléatoire

Champs gaussiens singuliers

Par Ronan Herry - 6 heures cours magistral - les 9/03, 16/03 et 23/03 2023 - 10h à midi - salles à confirmer

Je présenterai les différentes techniques utilisées pour donner un sens mathématiques à un champs gaussiens sur un espace de dimension infinie ainsi que leur propriétés générales. Comme exemple je définirai et étudierai les champs gaussiens définis sur des espaces fonctionnels de type Sobolev ainsi que leur régularité. J’étudierai en détail quelques exemples de champs gaussiens usuels : champ libre gaussien, champs gaussien log-corrélé, champs gaussien conformément invariant. Je donnerai ensuite quelques éléments de calcul de Malliavin et d’analyse gaussienne.

  • Mots-clés : Champs gaussiens
  • Prérequis : Théorie de la mesure, topologie, analyse fonctionnelle, probabilités

Analyse

Transport Optimal et Applications

Par Ronan Herry - 6 heures cours magistral - les 7/03, 14/03, 21/03 de 10h à midi - salles à confirmer

Je présenterai un panorama du transport optimal et ses liens avec les probabilités, les EDPs, les inégalités fonctionnelles et la géométrie. Plan du cours :

  1. Le problème de Monge.
  2. Le problème de Kantorovitch, existence de plans de transport optimaux.
  3. Monotonie cyclique, dualité de Kantorovitch.
  4. Distances de Wasserstein.
  5. Théorème de Brenier, existence d’applications de transport optimales.
  6. Équation de Monge-Ampère.
  7. Preuve par transport optimal de quelques inégalités fonctionnelles sur R^n (Brunn-Minkowski, isopérimétrie, inégalités de Sobolev…).
  8. À la fin du cours j’indiquerai également des directions possibles d’approfondissement suivant l’intérêt de chacun.
  • Mots-clés : Transport optimal.
  • Prérequis : Théorie de la mesure, topologie, analyse fonctionnelle. Idéalement analyse convexe mais pas nécessaire.

Introduction à la stabilité des ondes progressives

Par Miguel Rodrigues - 8 heures cours magistral - 13/03 de 14h à 16h, 15/03 de 14h à 16h, 20/03 de 14h à 16h, 22/03 de 10h à 12h - salles à confirmer

L’objectif du cours est de faire une brève introduction à la stabilité des ondes progressives (traveling waves en anglais) des systèmes d’équations aux dérivées partielles. Il est découpé en quatre leçons. La première définit les objets et fournit des rappels sur le cas des équations différentielles ordinaires. La seconde considère le cas où le linéarisé présente un trou spectral, avec comme application l’étude des fronts des équations de réaction-diffusion. La troisième discute du cas hamiltonien, avec comme objet de base les ondes solitaires des systèmes hamiltoniens. La dernière s’intéresse au cas où le linéarisé ne fournit que des bornes algébriques, ce cas comprenant l’étude des solutions constantes non isolées, ou celle des ondes périodiques. En comparaison avec les cours déjà disponibles au niveau Master 2 à Rennes, il se veut un complément en temps long au cours d’Équations Hyperboliques et un complément non linéaire à celui de Théorie Spectrale.

  • Mots-clés : analyse des équations aux dérivées partielles.
  • Prérequis : espaces de Sobolev, analyse de Fourier, théorie spectrale, distributions.

 

Géométrie et Analyse

Small eigenvalues of the Laplacian

Par Juan Souto - 6 heures cours magistral - 13/03 de 10h à 12h salle 16 Bat 22, 15/03 10h à 12h  salle 16 Bat 22, 17/03 10h à 10h salle BU Bat 22

I might be wrong about that, or I might be having my own past complexes in mind, but I have the impression that people working in areas like geometric group theory or geometric topology, people who feel comfortable with notions like Gromov hyperbolic, geodesic and quasi-isometry, tend to be afraid of the Laplacian and its eigenvalues, associating it with painful, very technical and rather opaque analysis. Well, that is a mistake and indeed the goal of this course is to demonstrate what kind of beautiful theorems one can prove using the kind of geometric arguments loved by everybody in a sane state of mind. We will be working exclusively on closed hyperbolic surfaces X and the one thing to know is that the Laplacian ΔX has innitely many eigenvalues
0 = λX0 < λX1 ≤ λX2 ≤ λX3 ≤ . . .
where λ is an eigenvalue if there is a non-zero function f ∈ C∞(X) with ΔXf = λf. These are the theorems we will discuss.