Doctoral lectures 2018-2019

###Groupes modulaires de surfaces

Cours d'école doctorale donné par Juliette Bavard
IRMAR - bâtiment 22

[collapsed title="Résumé du cours"] Je présenterai les groupes modulaires de surfaces (ou mapping class groups) : leur définition, ce qui motive leur étude, et leurs principales propriétés (algébriques et dynamiques). J'introduirai également le complexe des courbes : un outil très riche qui permet d'utiliser la théorie géométrique des groupes pour étudier ces groupes modulaires de surfaces. [/collapse]

###La correspondance de Langlands

Cours d'école doctorale donné par Tobias Schmidt
IRMAR - bâtiment 22.

[collapsed title="Résumé du cours"] Le programme de Langlands classique relie la théorie des nombres à la théorie des représentations et à l’analyse harmonique pour les groupes de matrices classiques. Dans ce cours, je donnerais une légère introduction à la correspondance de Langlands locale en concentrant sur le cas le plus simple : le cas du groupe GL_2(F) pour un corps non-archimédien F. Dans cette situation, la correspondance est un lien profond entre les représentations de rang 2 du groupe de Galois absolu de F et les représentions irréductibles du groupe de matrices GL_2(F). Je décrirai les deux côtés en détail et expliquerai comment les mettre en bijection. Le cours est accessible aux étudiants de M2. [/collapsed]

Théorèmes d’algébrisation

Cours de l'école doctorale donné par Serge Cantat
IRMAR, bâtiment 22

[collapsed title="Résumé du cours"] Je décrirai quelques théorèmes d’algébrisation, en concentrant le cours sur le théorème de Chow qui stipule qu’une sous-variété analytique complexe d’un espace projectif est automatiquement une sous-variété algébrique. Le cours comportera donc à la fois des énoncés d’analyse complexe à plusieurs variables et de géométrie algébrique. Il est accessible aux étudiants de M2. [/collapsed]

###Théorie des grandes déviations et application à la mécanique statistique

Cours de l'école doctorale donné par Mathias Rousset
RMAR, bâtiment 22

[collapsed title="Résumé du cours"] Nous présenterons la théorie générale des grandes déviations avec comme point central le théorème de Sanov pour les variables i.i.d.. Nous exposerons en parallèle les bases théoriques de la mécanique statistique, et éclairerons la thermodynamique classique à partir du point de vue des grandes déviations. [/collapsed]

###Géométrie algébrique et géométrie analytique Cours de l'école doctorale donné par Serge Cantat
IRMAR, bâtiment 22

[collapsed title="Résumé du cours"] Il s’agira de présenter plusieurs théorèmes montrant que certains ensembles analytiques complexes sont en fait automatiquement algébriques, notamment le théorème de Chow affirmant que toute sous-variété analytique de l’espace projectif complexe est une sous-variété algébrique. Au passage, je présenterai quelques-uns des outils de l’analyse à plusieurs variables complexes. [/collapsed]

###Introduction aux modèles statistiques de régression à inflation de zéros Cours de l'école doctorale donné par Jean-François Dupuy
RMAR, bâtiment 22

[collapsed title="Résumé du cours"] Ce cours sera consacré aux modèles de régression pour données de comptages «zéro-inflatées». Une première partie sera consacrée à des rappels sur les modèles linéaires généralisés. Une attention particulière sera portée au modèle de régression de Poisson. Nous introduirons ensuite le problème de la sur-dispersion des données de comptage et décrirons quelques méthodes qui permettent de la prendre en compte (modèle quasi-Poisson, estimation robuste, modèle négatif binomial). Enfin, nous introduirons le problème de l’excès de zéros et décrirons quelques modèles de régression adaptés à cette situation(modèles ZIP, ZIB, ZIM). Les méthodes introduites dans ce cours seront illustrées (au moyen du logiciel R) sur un jeu de données issu d’une étude en économie de la santé.Tout au long de ce cours, on s’attachera à mentionner des problèmes encore ouverts dans le domaine. ###Plan du cours: 1.Some background on generalized linear models 1.1.Introduction and examples 1.2.Exponential families-Components of a GLM 1.3.Maximum likelihood estimationand inference 2.Models for over-dispersed count data 2.1.Introduction 2.2.Quasi-Poisson model 2.3.Negative binomial regression model 3.Zero-inflated count data 3.1.Introduction 3.2.ZIP regression model(definition, estimation) 3.3.Models for bounded count data: ZIB and ZI [/collapsed]

###A (very) Short Introduction to Geometric Numerical Integration and Splitting Methods Cours spécialisé donné par Fernando CASAS (Universitat Jaume I)
RMAR, bâtiment 22

[collapsed title="Résumé du cours"] Geometric Numerical Integration (GNI) constitutes nowadays a branch of numerical analysis of differential equations which aims to provide numerical approximations incorporating qualitative features of the solution of the continuous system being discretized, in particular its geometric properties. The motivation for developing such structure-preserving algorithms arises independently in areas of research as diverse as celestial mechanics, molecular dynamics, control theory, particle accelerators physics, and numerical analysis. Although diverse, the systems appearing in these areas have one important common feature. They all preserve some underlying geometric structure which influences the qualitative nature of the phenomena they produce. In GNI these properties are built into the numerical method, which gives the method an improved qualitative behavior, but also allows for a significantly more accurate long-time integration than with general-purpose methods. Some of the most efficient GNI schemes are based on the related ideas of splitting and composition. If the vector field of the differential equation can be decomposed (split) into two or more parts so that each subproblem can be exactly solved (or approximated to high accuracy), then a splitting method, possibly of high order, can be obtained by composing these solutions with appropriately chosen weights. If the system to be integrated has a qualitative property which is important to preserve under discretization (e.g., it is a Hamiltonian system, so that the exact solution is symplectic) and each part also has this property, then the numerical approximation furnished by the splitting method, by construction, shares this feature with the exact solution. In addition to the construction of new numerical algorithms, an important aspect of geometric integration is the explanation of the relationship between preservation of the geometric properties of a numerical method and the observed favorable error propagation in long-time integration. In the analysis of the methods a number of techniques from different areas of mathematics, pure and applied, come into play, including Lie groups and Liealgebras, formal series of operators, differential and symplectic geometry, etc.In this four-hour course, we will introduce some of the main themes, techniques and applications of GNI, with much emphasis on splitting and composition methods, and illustratesome of them on well-known physical examples. Program codes will be provided and several exercises also proposed. ###References.

  1. S. Blanes and F. Casas, A Concise Introduction to Geometric Numerical Integration, CRC Press (2016).
  2. S. Blanes, F. Casas, and A. Murua, Splitting and composition methods in the numerical integration ofdifferential equations, Bol. Soc. Esp. Mat. Apl.45 (2008), 87-143.
  3. K. Feng and M. Qin, Symplectic Geometric Algorithms for Hamiltonian Systems, Zheijang Publ. UnitedGroup -Springer (2010).
  4. E. Hairer, C. Lubich and G. Wanner, Geometric Numerical Integration, 2nd Ed., Springer (2006).
  5. B. Leimkuhler and S. Reich, Simulating Hamiltonian Dynamics, Cambridge University Press (2004).
  6. R.I. McLachlan and R. Quispel, Splitting methods, Acta Numerica 11 (2002), 341-434.
    [/collapsed]

###Introduction aux ÉDP dispersives Cours de l'école doctorale donné par Rémi CARLES
RMAR, bâtiment 22

[collapsed title="Résumé du cours"] Après une définition "générale" de la notion d'équation dispersive, nous montrerons des liens entre le point de vue issu de la physique et des aspects de l'analyse harmonique (restriction de la transformée de Fourier), pour aboutir à la notion d'inégalité de Strichartz. Cet outil sera ensuite appliqué pour résoudre, localement en temps, certaines équations d'évolution (Schrödinger, ondes, Klein-Gordon). Nous aborderons ensuite la question de la dynamique en temps grand (blow-up, ondes progressives, scattering), pour donner un aperçu des phénomènes connus et des outils permettant de les analyser. Enfin, si le temps le permet, nous présenterons des méthodes d'analyse semi-classique (BKW) permettant de montrer des résultats de caractèremal posé du problème de Cauchy pour l'équation de Schrödinger non linéaire. [/collapsed]

###Les équations de Maxwell harmoniques et leurs discrétisations par éléments finis Cours de l'école doctorale donné par Monique Dauge
RMAR, bâtiment 22

[collapsed title="Résumé du cours"] Les équations de Maxwell décrivent la propagation d'un champ électromagnétique. Pour les phénomènes à fréquence temporelle déterminée, la dépendance en temps disparait au profitde la formulation harmonique. On obtient un système 6x6 d'équations aux dérivées partielles d'ordre 1. On peut le réduire à un système 3x3 d'équations d'ordre 2. Ce système n'est pas naturellement elliptique, mais le devient si on utilise astucieusement la condition de jauge sur la divergence. Dans ce cadre, la discrétisation par éléments finis et projection de Galerkin semble une voie toute tracée..., ce qui est une grave erreur en domaine borné si celui-ci présente des coins non convexes. J'ai l'intention d'exposer cette problématique et quelques une des stratégies valides pour y remédier, notamment:

  1. méthodes où l'on conserve les éléments finis standard (dits de Lagrange) mais on modifie la prise en compte de la jauge : il s'agit de la régularisation à poids,
  2. méthodes où l'on utilise des éléments finis vectoriels qui reproduisent les propriétés du complexe de de Rham: il s'agit des éléments d'arêtes introduits par Nédélec et généralisés par Arnauld, Falk et Winter. [/collapsed]

###Autour de la stabilité des ondes progressives Cours de l'école doctorale donné par Miguel Rodrigues
RMAR, bâtiment 22

[collapsed title="Résumé du cours"] L'objectif est de fournir une initiation au rôle des ondes progressives dans la description du comportement en temps long des solutions d'équations aux dérivées partielles d'évolution. Si le temps le permet, après avoir défini et motivé les objets, nous discuterons :

  1. la classification presque complète de la dynamique dans les équations scalaires de type réaction-diffusion ;
  2. l'argument variationnel de stabilité à la Grillakis-Shatah-Strauss pour les ondes des systèmes hamiltoniens ;
  3. l'argument direct de stabilité qui sous des hypothèses de stabilité spectrale essentiellement optimales fournit une description précise de la dynamique partant dans dans un voisinage de l'onde de référence.

Autant que possible le cours sera jalonné d'analogies avec des équivalents ---souvent bien connus ---pour l'étude des solutions d'équations différentielles ordinaires.
[/collapsed]

###Ideal classes and abelian varieties over finite fields Cours de spécialisation donné par Stefano Marseglia (Max Planck Bonn)

[collapsed title="Résumé du cours"] This mini-course will be divided in two parts. In the first we will discuss how to compute all ideal classes of a non-maximal order in étale Q-algebras (i.e. products of number fields). In the second part we will introduce abelian varieties over finite fields and we will describe them by mean of a much more concrete category, which, under certain assumptions, can be described in terms of fractional ideals.

Lectures:

  1. Introduction -Étale Q-algebras, orders, fractional ideals (invertible and non).
  2. Ideal classes, Picard Groups and Ideal Class Monoids.
  3. Abelian varieties over finite fields -basic definitions, Honda-Tate theory.
  4. Categorical descriptions -Theorems of Deligne and Centeleghe-Stix and computations using ideal classes. [/collapsed]

###Around various aspects of the Kronecker limit formula Cours de spécialisation donné par Dennis Eriksson (Gothenburg University)

[collapsed title="Résumé du cours"] The Kronecker limit formula is a classical formula expressing the residue of a real-analytic Eisenstein series at s=1 in terms of the discriminant modular form of weight 12. The Eisenstein series can be specialized to zeta functions of imaginary quadratic fields, which gives a connection to number theory and the theory of elliptic curves with complex multiplication. Hopefully this would be of interest of people with a background in algebraic or complex geometry who are curious aboutnumber theoretic applications.
In this mini-course I will try to highlight various aspects of this formula:
-Arakelov theoretic interpretation as an instance of arithmetic Riemann-Roch.
-A genus one mirror symmetry interpretation.-Number theoretic applications.
-Other generalizations.
[/collapsed]