Séminaire - Journée Rennes-Nantes d'analyse

Programme provisoire, susceptible de modifications :


  9h45-10h15 Accueil (Salle Hypathia du LMJL )
10h15-10h55 Marianne Bessemoulin
11h00-11h40 Werner Bauer
11h50-13h00 Déjeuner au RU Lombarderie
13h10-13h50 Gabriel Rivière
13h55-14h35 Eric Darrigrand
14h40-15h00 Pause café
15h00-15h40 Zeinab Karaki
15h45-16h25 Karine Beauchard


Werner Bauer :


Variational discretization framework for geophysical flow models


We introduce a geometric variational discretization framework for geophysical flow models. The numerical scheme is obtained by discretizing, in a structure preserving way, the Lie group formulation of fluid dynamics on diffeomorphism groups and the associated variational principles. Our framework applies to irregular mesh discretizations in 2D and 3D and produces schemes that preserve conservation laws such as mass and total energy. We illustrate the wide applicability of this discretization method that is based on a discrete version of the Euler-Poincaré variational method, in particular we present an overview of structure-preserving variational discretizations of various equations of geophysical fluid dynamics, such as the Boussinesq, anelastic, pseudo-incompressible, and shallow-water equations. We verify the structure-preserving nature of the resulting variational integra- tors for test cases of geophysical relevance. As descending from variational principles, the discussed variational schemes exhibit a discrete version of Kelvin circulation theorem and show excellent long term energy behavior.


Karine Beauchard :


Unexpected quadratic behaviors for the small-time local null controllability of scalar-input PDEs


We consider scalar-input control systems in the vicinity of an equilibrium, at which the linearized systems are not controllable. For finite dimensional control systems, we recently classified the possible quadratic behaviors. Quadratic terms introduce coercive drifts in the dynamics, quantified by integer negative Sobolev norms, which are linked to Lie brackets and which prevent smooth small-time local controllability for the full nonlinear system. In the context of nonlinear parabolic equations, we prove that the same obstructions persist. More importantly, we prove that two new behaviors occur, which are impossible in finite dimension. First, there exists a continuous family of quadratic obstructions quantified by fractional negative Sobolev norms or by weighted variations of them. Second, and more strikingly, small-time local null controllability can sometimes be recovered from the quadratic expansion. We also construct a system for which an infinite number of directions are recovered using a quadratic expansion. As in the finite dimensional case, the relation between the regularity of the controls and the strength of the possible quadratic obstructions plays a key role in our analysis.


Marianne Bessemoulin :


Hypocoercivité et limite de diffusion d'un schéma volumes finis pour des équations cinétiques linéaires.


Dans cet exposé, je présenterai des résultats récents obtenus avec Maxime Herda (INRIA Lille) et Thomas Rey (Univ. Lille). Nous nous intéressons à la discrétisation d'une équation cinétique linéaire en 1D, avec un opérateur de collision de type Fokker-Planck linéaire ou BGK linéarisé. Nous prouvons d'une part le caractère "Asymptotic Preserving" à la limite de diffusion de notre schéma, et d'autre part le retour exponentiel vers l'équilibre maxwellien, uniformément dans la limite de diffusion. Ce caractère hypocoercif est obtenu en adaptant au cadre discret les résultats de Dolbeault, Mouhot et Schmeiser (2015).


Eric Darrigrand :


FastMMLib -- une bibliothèque générique pour les méthodes multipôles rapides.


Auteurs : Eric Darrigrand, Yvon Lafranche.
Les méthodes multipôles rapides (FMM) ont été introduites dans les années 80 [Greengard et al 1988, Coifman et al 1993] et sont largement utilisées pour la résolution d'équations intégrales ou du problème à N corps. Cependant leur application à un nouveau contexte ou une nouvelle configuration nécessite systématiquement un travail d'adaptation important. A l'IRMAR, nous développons une bibliothèque générique de méthodes rapides : FastMMLib. La bibliothèque est développée sur la base d'une expression générique du noyau qui fait l'objet du calcul.

L'interaction avec l'utilisateur s'organise de sorte que la bibliothèque gère exclusivement et intégralement les ingrédients FMM. Ceci induit d'une part que l'utilisateur n'a pas besoin d'une connaissance avancée de la FMM et d'autre part qu'il garde le contrôle sur tous les autres aspects du contexte d'utilisation (ex. : discrétisation éléments-finis). La bibliothèque est écrite en C++ et contient des classes dédiées à l'expression des spécificités du problème de l'utilisateur. Par ailleurs, FastMMLib inclut la version régularisée de la FMM [Chartier et al 2010] développée dans le cadre des systèmes hamiltoniens.

La bibliothèque est développée de sorte à être compatible avec un code utilisateur écrit en C, en C++ ou en Fortran. L'aspect générique et la structure de FastMMLib sont définis de sorte qu'elle pourra intégrer des méthodes rapides autres que les FMM, telles que les H-matrices (Hackbusch et al 1999), ou des développements multipôles indépendants du noyau (ex. : Ying et al 2004).


Zeinab Karaki :


Étude de l’opérateur de Fokker-Planck avec un champ magnétique extérieur.


Dans cet exposé, je présenterai des résultats sur la décroissance exponentielle du semi-groupe associé à l’opérateur de Fokker-Planck avec un champ magnétique extérieur, dans des espaces de Banach avec un poids polynomial. J’introduirai d’abord la méthode d’hypocoercivité avec un poids exponentiel, puis j’expliquerai la théorie d’élargissement d’espace de Banach.


Gabriel Rivière :


Equidistribution des fonctions propres du Laplacien sur le tore.


Un problème classique d'analyse harmonique sur le tore consiste à étudier les propriétés des fonctions propres du Laplacien lorsque la valeur propre tend vers l'infini. Dans cet exposé, je présenterai des résultats obtenus avec Hamid Hezari (UC Irvine) sur la distribution asymptotique de ces fonctions propres le long d'hypersurfaces vérifiant certaines hypothèses de courbure.

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