Conférence - Espaces des lacets en géométrie et topologie

Du 1 au 5 septembre 2014 à Nantes
Responsable : H. Abbaspour
Comité d'organisation : H. Abbaspour (Nantes), A. Oancea (Paris), N. Wahl (Copenhague)

Les objets unidimensionnels jouent un rôle central en géométrie depuis des temps immémoriaux. Des droites de la géométrie euclidienne aux géodésiques sur les variétés riemanniennes, des familles particulières de courbes (chemins ou lacets) tracées dans un espace donné ont souvent été utilisées avec succès pour étudier la géométrie ambiante. Par exemple, à l'échelle locale, la courbure riemanienne se calcule en étudiant le comportement des géodésiques grâce à l'équation de Jacobi. A l'échelle globale, de nombreux liens ont été mis à jour, au fil des années, entre les espaces de lacets et l'analyse, la théorie des groupes de Lie ou encore la topologie. On peut citer par exemple la théorie de Morse portant sur le calcul des variations (1929), la classification des groupes d'holonomie par Berger (1953), le critère homologique de Gromoll et Meyer pour l'existence d'une infinité de géodésiques fermées (1969) ainsi que sa réinterprétation par Sullivan et Vigué (1976) en adoptant le point de vue de l'homotopie rationnelle. Partant d'une perspective assez différente, la théorie des cordes considère les lacets et les chemins, ainsi que les surfaces de Riemann, comme les briques élémentaires d'une théorie unifiée de la matière.

La géométrie symplectique s'impose comme le cadre naturel dans lequel les objets réels unidimensionnels (chemins et lacets) interagissent avec les objets complexes unidimensionnels (surfaces de Riemann). La théorie de Gromov des courbes pseudo-holomorphes (1985) et sa réinterprétation par Floer comme une théorie variationnelle pour le flot de gradient de la fonctionnelle d'action symplectique (1987) se sont imposées comme des outils puissants pour aborder les conjectures d'Arnold et de Weinstein (1986, 1979) sur l'existence d'orbites fermées pour les systèmes hamiltoniens. La structure géométrique de la compactification des espaces de modules de courbes pseudo-holomorphes fait apparaître des structures algébriques sophistiquées qui s'étudient à l'aide de théories homologiques comme l'homologie de Floer, l'homologie de contact (plongée), l'homologie de Seiberg-Witten-Floer... Dans toutes ces théories apparaissent des produits d'ordre supérieur qui reflètent les choix non-canoniques nécessaires pour relever au niveau des chaînes un produit associatif sur l'homologie. Ces produits d'ordre supérieur peuvent être assemblés en une différentielle (en fait une co-dérivation) sur un objet connu par les topologues algébristes sous le nom de «construction Bar».

En parallèle avec ces développements et en s'inspirant des structures algébriques qui apparaissent en théorie quantique des champs, les topologues algébristes ont cherché à comprendre les complexes de chaînes des espaces de lacets et de chemins d'une variété. L'idée naturelle de Chas et Sullivan consistant à faire de la chirurgie de chemins et lacets en présence de la dualité de Poincaré a conduit à la définition d'une pléthore de nouvelles opérations et a ouvert tout un nouveau champ de recherches appelé «topologie des cordes».

Parallèlement à cette approche topologique, de nombreux efforts ont été déployés pour comprendre la structure algébrique des espaces de lacets algébriques, c'est-à-dire des complexes de Hochschild des algèbres différentielles graduées ou des catégories munies de structures supplémentaires qui modélisent la dualité de Poincaré dans un contexte topologique. Les différentes méthodes utilisées pour associer un objet linéaire (complexe, homologie, catégorie...) à un objet non-linéaire (variété, ...) ont fait émerger des structures homotopiques riches.

Il existe de nombreuses analogies entre les constructions et les difficultés qui apparaissent dans chacune des trois approches sus-citées. Le désir commun de réorganiser les choix non-canoniques à l'aide d'homotopies supérieures a donné en particulier naissance à des formulations élégantes d’énoncés géométriques et topologiques dans le langage des catégories et des foncteurs dérivés.

Nous pensons que le moment est propice pour rassembler des experts et des jeunes mathématiciens travaillant dans ces domaines. Nous nous attendons à de nombreuses interactions qui, nous l'espérons, pourront être une source d'inspiration pour de nouvelles idées. Dans cette optique, le programme de la conférence comprend cinq mini-cours destinés à un public de non-spécialistes, ainsi que plusieurs exposés portant sur des développements plus pointus.

Partenaires

Irmar LMJL ENS Rennes LMBA LAREMA

Tutelles

ANR CNRS Rennes 1 Rennes 2 Nantes INSA Rennes INRIA ENSRennes UBO UBS Angers UBL